Что такое лемниската простыми словами

Открытие Августа Мебиуса

«Отцом» открывателем этой необычной ленты признан немецкий математик Август Фердинанд Мебиус, ученик Гаусса, написавший не одну работу по геометрии, но прославившийся преимущественно открытием односторонней поверхности в 1858 году.

Удивительным является тот факт, что ленту с одной поверхностью в тот же самый 1858 год открыл другой ученик Гаусса – талантливый математик Иоганн Листинг, придумавший термин «топология» и написавший серию основополагающих трудов по этому разделу математики. Однако свое название необычная лента все же получила по фамилии Мебиуса.

Есть расхожее мнение, что прообразом модели «бесконечной петли» стала неверно сшитая лента служанкой профессора Августа Мебиуса.

На самом деле, лента была открыта давным-давно еще в древнем мире. Одним из подтверждений служит находящаяся во Франции, в музее города Арль древнеримская мозаика с такой же перекрученной лентой. На ней нарисован Орфей, очаровывающий зверей звуками арфы. На фоне неоднократно изображен орнамент с перекрученной лентой.

Шаг 1: Исследование функции

Перед тем как начать строить лемнискату в полярных координатах, необходимо исследовать функцию для построения.

Лемниската – это геометрическая фигура, представляющая собой кривую симметричную относительно оси, схожую с цифрой «8».

Для построения лемнискаты используется функция в полярных координатах:

Уравнение для лемнискаты имеет вид: r^2 = a^2 * cos(2θ), где r — радиус, θ — угол в полярных координатах, a — параметр.
Значение параметра a определяет форму и размер лемнискаты. При a > 0 получается двусвязная лемниската, а при a
Угол θ изменяется от 0 до 2π, что позволяет построить полную кривую.
При θ = π/4 и θ = 5π/4 уравнение принимает следующий вид: r^2 = a^2. Это является особым случаем, когда лемниската пересекает ось OX.

Исследование функции и понимание ее свойств позволит вам более эффективно построить лемнискату в следующих шагах.

Примеры предложений со словом «лемниската»

Раз есть лемниската, то это — не глюк.- Ась — озадаченная лемниската пошла рябью.- Кому и чего даю — пояснил Василий.- Я имел в виду, что не слишком

И вот Василий — в мире идей Ирина Маракуева

ЛЕМНИСКАТА ЕГОРОВА «Лемниската Егорова» — эффективная методика профилактики и лечения плоскостопия с использованием лемнискаты.

Лемниската Егорова Михаил Дак

Это была одна сплошная лемниската.

Отрезки жизни — от слова отрезать… Алексей Тенчой

Продолжение следует…1.Ганглий — нервный узел или точка высшего эмоционального подъёма, точка пересечения кривых времени (лемниската, вивиана);2.

ФэнИкс.. Продолжение 14-17 Наталья Некорецина

Хвастал Ванька интеллектом:- Лемниската Этот знак,Моя жинка нарисуетОт бедра вам, только так!***Заслуги.Старость разная бывает.

Калейдоскоп 60 Ольга Шельпякова

Перепёлкин Виктор ДмитриевичСолнечная лемниската в городе Омске

Солнечная лемниската в Омске Виктор Перепёлкин

Лемниската -два кольца, крест тишины -там рождаются богив избытке нашей любви.Обниму тебя крепче,вместе мы навсегда.

Число Женщины Дамбуаз Клермон

Лемниската — бантик, которым закрепляю лавровый венок победителя на голове Астра. Ибо любить победителя сладко.

Лара Галь. Любовь как перформанс Секретная Лаборатория

На широте города Омска мной построена лемниската и опубликована на Прозеру, путём наблюдений и регистрации положения светового луча от Солнца,в определённое

Господин Губков — бред считает наукой! Виктор Перепёлкин

А его лемнискатные глазки («лемниската» — это геометрическая фигура, обычно служащая для обозначения символа «бесконечность») стали ещё больше сближаться

Преданные предатели Борис Диденко

Лемниската— плоскостная кривая или геометрическое место точек Евклидовой плоскости, для каждой из которых произведение расстояний до выделенных точек

ФэнИкс.. Продолжение 3-10 Наталья Некорецина

Замелькали цифры, а затем появилась лемниската Бернулли, которая постоянно менялась, пока график и вовсе не стал напоминать вид цветка розы сверху.

Нанорозы Инамото Кирикидзо

Родственный трансцендентным феноменам «трансцендентальный шатун» в примечаниях Кинбота упоминается перед объяснением того, что такое лемниската: «Уникурсальная

Бледный огонь Нюй-ва о объятиях харит Сагит Фаизов

Во-первых, в связи с этой записью, нам вспоминается тот вензель-крендель (перевёрнутая восьмёрка — лемниската), который нарисовал на обложке «юбилейного

О преображении Горбунка Елена Шувалова

Вот эта гидра, эта космическая лемниската, эти Вритры повсюду.

О фильме Андрея Звягинцева Левиафан Мария Карпинская

«Лемниската», — проникает в голову любимое словечко Звездочета.Я помню: этим словом обозначается бантик лежачей восьмерки бесконечности.

Лара Галь. Любовь как перформанс. Третий вариант Секретная Лаборатория

Лемниската же, которая теперь украшала его шею, была из золота.

Линн флевелинг ларец душ. глава 27 Джулай 82

«Лемниската», — проникает в голову любимое словечко Звездочета.Я помню: этим словом обозначается «бантик» лежачей «восьмерки» бесконечности.

Лара Галь. Любовь как перформанс. Второй вариант Секретная Лаборатория

отрывок четвертый: «Лемниската»Придя в школу, наивный недоросль, вооружённый одним портфелем, одной головой, парой глаз и ушей, а также рук и ног, имеющих

Дневник марсианина 3-5 Урманова Марина

умрем Верзьера Аньези, конхоида Никомеда, циссоида Диокла, лемниската Бернулли: кривые, по которым течет наша жизнь и которые можно описать изящными

голыми ребрами Мальчик Наивный

Лемниската своими словами для детей

Лемниската — это особый вид кривой, которая выглядит как украшенная лентами. Она была изобретена математиком Бернулли. Лемниската получается, когда мы берем две окружности одинакового размера и связываем их центры. Затем мы вращаем одну из окружностей вокруг своей оси, не отрывая от центра. При этом вторая окружность остается неподвижной.

Когда мы вращаем первую окружность, она описывает кривую форму, которая напоминает число 8. Эта кривая и называется лемнискатой. Она имеет две части, которые пересекаются в центре и выглядят как две петли, связанные друг с другом.

Лемниската используется в математике и физике для решения различных задач. Например, она может помочь нам найти решение уравнений или определить форму электрического поля вокруг заряженных частиц.

Для детей лемниската может быть интересной, потому что она имеет уникальную форму и может быть использована для создания красивых узоров. Вы можете попробовать нарисовать лемнискату с помощью карандаша и бумаги, следуя инструкциям. Это может быть забавным и познавательным опытом!

Так что лемниската — это особая кривая с интересной формой, которая может быть использована в математике и физике. Она может помочь нам решать задачи и создавать красивые узоры.

Значение лемнискаты в психологии и символике

Лемниската, также известная как символ восьмерки или знак «бесконечность», имеет глубокое значение в психологии и символике. В ее форме содержится идея бесконечности, непрерывности и вечности.

В психологии лемниската часто ассоциируется с самосознанием и самовосприятием. Ее бесконечный замкнутый вид символизирует единство и целостность человеческой личности. Символ восьмерки также может отражать противоположности, которые сливаются вместе, например, сознание и бессознательное, мужское и женское, добро и зло.

Другое значение лемнискаты в психологии связано с идеей движения и изменения. Ее графическое представление, напоминающее бесконечную петлю, подчеркивает непрерывность и постоянство изменений в жизни. Лемниската может напоминать о необходимости принять перемену и адаптироваться к новым обстоятельствам.

В символике лемниската присутствует множество значений. В древних культурах она часто ассоциировалась с богиней судьбы и знания, символизируя ее всеведение и всемогущество. В христианской символике восьмерка может отражать божественное совершенство и воскрешение, а также единство Бога и человека.

В целом, значение лемнискаты в психологии и символике тесно связано с идеей бесконечности, целостности и постоянного изменения

Ее графическая форма и символическое назначение делают ее мощным и универсальным символом, который привлекает внимание и восхищение

Зачем нужна петля Мебиуса? Применение

Лента Мебиуса – вовсе не абстрактная фигура, нужная лишь для целей математики, она нашла применение и в реальной повседневной жизни. По принципу этой ленты функционирует в аэропорту лента, передвигающая чемоданы из багажного отделения. Такая конструкция позволяет ей служит дольше в связи с равномерным изнашиванием. Открытие Августа Мебиуса повсеместно исполбьзуется в станкостроении. Конструкцию используют для большего времени записи на пленку, а также в принтерах, использующих ленту при распечатке.

Благодаря своей наглядности, петля Мебиуса дает возможность делать современным ученым все новые и новые открытия. С момента обнаружения удивительных свойств петли по всему миру прокатилась волна новых запатентованных изобретений. Например, значительное улучшение свойств магнитных сердечников, изготовленных из ферро-магнитной ленты, намотанных по способу Мебиуса.

Н. Тесла получил патент на многофазную систему переменного тока, использовав намотку катушек генератора по типу петли Мебиуса.

Американский ученый Ричард Дэвис сконструировал нереактивный резистор Мебиуса — способный гасить реактивное (емкостное и индуктивное) сопротивление, не вызывая элекстромагнитных помех.

Реконструкция клепсидры Ктесибия

Внутри фигурки амура (1) спрятана трубка подачи воды (2) из источника (3). Вода по трубке вытекала из глаз амура каплями, как слёзы, сливаясь в трубку (4), и по ней перетекала в резервуар (5) — отделение каменной «тумбы» часов с пробкой — поплавком (6). По мере повышения уровня воды в резервуаре (5) поднимался и поплавок. К поплавку штырём (7) крепилась фигура амура (8), указывающего пальчиком на деление на вращающемся цилиндре (9). Изогнутые горизонтальные линии (10) на цилиндре обозначали часы. У древних греков сутки были разделены на день — от восхода до заката, и ночь — от заката до восхода. 1 час равнялся 1/12 дня или ночи. Летом дни длиннее ночей, а зимой — наоборот, и длительность дневных и ночных часов менялась в течение года. Кривизна часовых линий была рассчитана так, чтобы указывать верный час в любой день года. Вертикальными линиями (11) цилиндр делился на 365 частей — по числу дней в году. По мере наполнения резервуара (5) по закону сообщающихся сосудов наполнялась трубка — сифон (12). Когда уровень воды достигал изгиба сифона, вода из резервуара (5) сливалась в сосуд (13) на одной из лопастей вращающегося колеса (14). Под тяжестью наполненного сосуда колесо проворачивалось, вращая и сцепленное с ним зубчатое колёсико (15). Это колёсико проворачивало ось (16) и цилиндр (9) на 1/365 часть окружности так, что пальчик амура (8) указывал следующий день. Сосуд (13) на лопасти при повороте колеса (14) опрокидывался и опустошался. Запускался новый виток работы механизма.

Шаг 2: Определение параметров лемнискаты

Основной параметр лемнискаты – это расстояние между двумя точками, от которых она строится. Обозначим это расстояние как «d». Чем больше «d», тем более выпуклая будет лемниската. Чтобы найти оптимальное значение «d», можно экспериментировать с разными значениями и выбрать то, которое дает наиболее интересный и эстетически приятный результат.

Другой важный параметр лемнискаты – это полуоси кривой, обозначенные как «a» и «b». Они определяют форму кривой и ее размеры. Полуось «a» отвечает за горизонтальное изменение кривой, а полуось «b» – за вертикальное. Чем больше значения «a» и «b», тем больше будет размер лемнискаты.

Выбор значений «a» и «b» зависит от желаемого вида лемнискаты. Часто используемым вариантом является «a = b», что делает лемнискату симметричной относительно оси OX. Однако, можно экспериментировать с разными значениями «a» и «b» для создания нестандартной и более интересной кривой.

Таким образом, определение параметров лемнискаты – ключевой шаг для ее построения в полярных координатах. Выбор значений «d», «a» и «b» зависит от желаемого результата и может быть основан на экспериментировании и индивидуальных предпочтениях.

Лента Мебиуса – широкое поле для Вдохновения

Сложно оценить важность значения открытия петли Мебиуса, которое вдохновило не только большое множество ученых, но и писателей, художников. Самой известной работой, посвященной ленте Мебиуса считается картина Moebius Strip II, Red Ants или Красные Муравьи голландского художника-графика Маурица Эшера

На картине представлены муравьи, карабкающиеся по петле Мебиуса с обеих сторон, на самом деле сторона всего одна. Муравьи ползут по бесконечной петле друг за другом по одной и той же поверхности

Самой известной работой, посвященной ленте Мебиуса считается картина Moebius Strip II, Red Ants или Красные Муравьи голландского художника-графика Маурица Эшера. На картине представлены муравьи, карабкающиеся по петле Мебиуса с обеих сторон, на самом деле сторона всего одна. Муравьи ползут по бесконечной петле друг за другом по одной и той же поверхности.

Художник черпал свои идеи из статей и трудов по математике, он был глубоко увлечен геометрией. В связи с чем на его литографиях и гравюрах часто присутствуют различные геометрические формы, фракталы, потрясающие оптические иллюзии.

До сих пор интерес к петле Мебиуса находится на очень высоком уровне, даже спортсмены ввели одноименную фигуру высшего лыжного пилотажа.

По произведению «Лента Мёбиуса» писателя фантаста Армина Дейча снят не один фильм. В форме петли Мебиуса создается огромное множество украшений, обуви, скульптур и многих других предметов и форм.

Лист Мебиуса наложил отпечаток на производство, дизайн, искусство, науку, литературу, архитектуру.

Умы многих людей волновала схожесть формы молекулы ДНК и петли Мебиуса. Существовала гипотеза, которую выдвинул советский цитолог Навашин, что форма кольцевой хромосомы по строению аналогична ленте Мебиуса. На эту мысль ученого натолкнул тот факт, что кольцевая хромосома, размножаясь, превращается в более длинное кольцо, чем в самом начале, или в два небольших кольца, но как в цепи продетых одно в другое, что очень напоминает выше описанные опыты с листом Мебиуса.

В 2015 году группа ученых из Европы и США смогла закрутить свет в кольцо Мёбиуса. В научном опыте ученые использовали оптические линзы, и структурированный свет — сфокусированный лазерный луч с преопределенными интенсивностью и поляризацией в каждой точке своего движения. В итоге были получены световые ленты Мебиуса.

Есть еще одна более масштабная теория. Вселенная – это огромная петля Мебиуса. Такой идеи придерживался Эйнштейн. Он предположил, что Вселенная замкнута, и космический корабль, стартовавший из определенной ее точки и летящий все время прямо, возвратится в ту же самую точку в пространстве и времени, с которой и началось его движение.

Пока это всего лишь гипотезы, у которых есть как сторонники, так и противники. Кто знает, к какому открытию подведет ученых, казалось бы, такой простой объект, как Лента Мебиуса.

Примеры лемнискаты в природе

Несмотря на то, что лемнискаты представляют собой абстрактные математические объекты, они встречаются в природе. Например, одним из ярких примеров является движение пчелы при опылении цветов. Пчелы летают по сложным кривым путям вокруг цветка, образуя в воздухе лемнискату.

Еще одним примером лемнискаты в природе является движение планет. Когда планеты вращаются вокруг Солнца, их орбиты образуют кривую, похожую на лемнискату.

Кроме того, лемниската может быть видна и в других природных объектах, например, в расположении лепестков некоторых цветов или в форме некоторых морских раковин.

Рисунок лемнискаты Бернулли

Рисование лемнискаты Бернулли может быть немного сложным процессом, но с помощью некоторых инструкций вы сможете создать красивый и точный рисунок этой кривой.

Чтобы нарисовать лемнискату Бернулли, следуйте этим шагам:

Возьмите лист бумаги и нарисуйте две перпендикулярные оси — горизонтальную и вертикальную. Они будут представлять систему координат.
Выберите точку O в центре системы координат. Это будет ось вращения для рисования лемнискаты.
Выберите фокусную точку F1 в верхнем правом квадранте системы координат.
Отметьте на оси длину a между точкой O и точкой F1.
Используя конструкционную линейку и циркуль, постройте окружность с центром в точке O и радиусом a. Эта окружность будет задавать форму восьмерки лемнискаты.
Выберите произвольную точку P на окружности и соедините ее линией с точкой F1. Это будет первая часть лемнискаты.
Симметрично относительно оси OX проведите линию, проходящую через точку P. Она будет формировать вторую часть лемнискаты.
Повторите шаги 6 и 7 для различных точек P по окружности, чтобы нарисовать все части лемнискаты.
Удалите вспомогательные линии и получившийся рисунок лемнискаты Бернулли будет готов!

Рисуя лемнискату Бернулли, помните, что она имеет симметричную форму относительно оси OX. Чем ближе фокусная точка F1 к оси OX, тем больше будет утончение фигуры.

Лемниската Бернулли — это интересная и привлекательная математическая кривая. Попробуйте нарисовать ее сами и насладитесь красотой и симметрией этой кривой!

Применение лемнискаты в разных отраслях

Лемниската, математическая кривая, представляющая собой фигуру в форме восьмерки, широко применяется в различных отраслях. Ниже представлены некоторые примеры использования лемнискаты:

Физика и инженерия: Лемниската используется для описания движения жидкости в системах сжатия, таких как насосы и компрессоры. Также она применяется в механике жидкости для моделирования струй и течений.

Оптика: Лемниската используется для описания формы оптических линз. Фокусное расстояние и аберрации линз могут быть определены с использованием лемнискатических уравнений.

Электроника: Лемниската применяется в дизайне антенн и антенных массивов для оптимизации дальности и направленности сигнала.

Архитектура и дизайн: Форма лемнискаты может быть использована в архитектуре и дизайне как элемент декора или конструкции

Ее изящная и симметричная форма привлекает внимание и создает уникальный визуальный эффект.

Это лишь несколько примеров применения лемнискаты в разных отраслях. Благодаря своим уникальным свойствам и математическим характеристикам, лемниската продолжает находить новые области применения и вносить вклад в различные научные и технические области.

Течение времени, течение воды

У солнечных часов есть большой недостаток — ими нельзя пользоваться ночью, в пасмурную погоду и в помещении. Универсальным прибором для отсчёта времени стали водяные часы. Считается, что древнейшие водяные часы появились в Египте в 1417-1379 гг. до н. э. Это была каменная чаша с отверстием внизу, из которого равномерно вытекала вода. Уровень воды в чаше понижался, и по меткам внутри её определяли, сколько времени прошло. Древние греки называли водяные часы клепсидрой — «воровкой воды» — и отмеряли ею время выступления ораторов в суде и на собраниях.

Недостаток клепсидр — неточность. Из полного сосуда вода течёт под давлением и вытекает быстрее, а по мере опустошения сосуда, давление падает, и ток воды замедляется. Чем крупнее сосуды в часах, тем сильнее эти часы «отстают».

Древнейшие водяные часы. Египет. 1417 — 1379 гг. до н. э.

Древнегреческая клепсидра

Открытие лемнискаты Бернулли

Лемниската Бернулли, также известная как лемнискат Бернулли или восьмерка Бернулли, была впервые описана швейцарским математиком Жаком Филиппом Мариеттой Бернулли в 1694 году. Он назвал эту кривую «lemniscus», тот же термин, используемый для описания ленточки для ношения символа памяти у древних римлян. Кривая Бернулли была впервые корректно определена и изучена Иоганном Бернулли, братом Жака.

Лемниската Бернулли образуется путем движения точки на плоскости с фокусом в начале координат. Кривая представляет собой декартову произведение двух ветвей гиперболы, пересеченных в начале координат. Эта кривая обладает множеством интересных свойств и используется в физике, геометрии и других областях математики.

Для построения лемнискаты Бернулли необходимо знать ее уравнение и использовать математические инструменты, такие как карандаш, линейка, угольник, циркуль и графические программы. Существует несколько способов построения этой кривой, например, методом конических сечений или геометрическим методом с использованием круга и прямой

Важно учесть, что точность построения может варьироваться в зависимости от выбранного метода и использованных инструментов

1. Выйдите на свободную поверхность для построения.
2. Поставьте начало координат в центре выбранной поверхности.
3. Взять карандаш и линейку и нарисовать две перпендикулярные прямые оси координат.
4. Расположите циркуль в начале координат и нарисуйте дугу гиперболы.
5. Расположите циркуль на пересечении дуги гиперболы и оси X.
6. Нарисуйте вторую дугу гиперболы, пересекающую первую дугу в начале координат.
7. Подпишите кривые и отметьте фокусы.

Кривая Бернулли является одной из самых известных и студируемых кривых в математике. Изучение ее свойств и изображение может быть интересной задачей для студентов и математиков.

Что же такого примечательного в ленте Мебиуса?

Лента Мебиуса – пример неориентируемой односторонней поверхности с одним краем в обычном трёхмерном Евклидовом пространстве. Большинство предметов являются ориентируемыми, имеющими две стороны, например, лист бумаги.

Как тогда лента Мёбиуса может быть неориентируемой, односторонней поверхностью — скажете вы, ведь бумага, из которой она сделана имеет две стороны. А вы попробуйте взять маркер и заполнить цветом одну из сторон ленты, в конечном итоге вы упретесь в начальную позицию, причем вся лента окажется целиком закрашенной, что подтверждает наличие у нее всего одной стороны.

Чтобы поверить в то, что у петли Мебиуса всего один край – проведите пальцем по одному из граней ленты не прерываясь, и Вы точно так же, как и в случае с раскрашиванием, упретесь в точку, с которой начали движение. Удивительно, не правда ли?

Изучением ленты Мёбиуса и множества других интересных объектов занимается – топология, раздел математики, который исследует неизменные свойства объекта при его непрерывной деформации – растяжении, сжатии, изгибе, без нарушения целостности.

Геометрические свойства лемнискаты

Лемниската является кривой, которая имеет ряд особых геометрических свойств. В частности, это кривая симметрична относительно начала координат и ее точка перегиба находится на равном удалении от этого центра симметрии. Это гарантирует, что расстояние между точками на противоположных сторонах перегиба будет равным.

Кроме того, лемниската подчиняется формуле r² = 2a² cos(2θ), где r — расстояние от центра до точки на кривой, θ — угол между осью X и радиусом-вектором, соединяющим центр с точкой на лемнискате, а a — константа, которая определяет размер кривой.

Также интересно отметить, что лемниската имеет бесконечное число точек пересечения с любой окружностью, которая имеет свой центр в центре симметрии кривой. Это свойство может найти практическое применение, например, при проектировании колеса внутреннего зубчатого колеса.

В ряде задач лемнискату можно использовать для определения плотности распределения определенного параметра. Например, если рассматривать ее в контексте электрического поля, то плотность электрических линий на лемнискате будет пропорциональна заряду на ее точках. Таким образом, лемниската может быть эффективным инструментом для моделирования и анализа различных физических явлений и процессов.

Использование лемнискаты в дизайне и искусстве

В графическом дизайне лемниската может использоваться для создания логотипов и знаков. Ее бесконечная форма может быть использована для выражения идеи непрерывности, бесконечности или баланса. Лемниската также может быть использована для создания линий движения или абстрактных паттернов.

В искусстве лемниската может быть использована для создания уникальных и художественных произведений. Художники могут использовать лемнискату в качестве основы для композиции или включить ее в свои работы для создания впечатления бесконечности или гармонии.

Лемниската также может использоваться в декоративных элементах, таких как украшения и узоры на текстиле или керамике. Ее грациозная форма может добавить изысканности и красоты к любому дизайну или искусственному изделию.

Использование лемнискаты в дизайне и искусстве предоставляет художникам и дизайнерам возможность создать уникальные и привлекательные произведения, передающие идеи бесконечности, движения и гармонии. За счет своей симметрии и красоты, лемниската может стать важным элементом визуальной коммуникации и средством выражения идей.

История и примеры

Лемниската Бут

Рассмотрение кривых в форме восьмерки восходит к Прокл, грек Неоплатоник философ и математик, живший в V веке нашей эры. Прокл считал поперечные сечения из тор плоскостью, параллельной оси тора. Как он заметил, для большинства таких сечений поперечное сечение состоит либо из одного, либо из двух овалов; однако, когда самолет касательная к внутренней поверхности тора поперечное сечение принимает форму восьмерки, которую Прокл назвал кандалы (приспособление для удержания двух ног лошади вместе), или «бегемот» по-гречески. Название «лемниската Бута» для этой кривой восходит к ее исследованию математиком 19 века. Джеймс Бут.

Лемнискату можно определить как алгебраическая кривая, нулевое множество полином четвертой степени (Икс2+у2)2−cИкс2−dу2{displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} -cx ^ {2} -dy ^ {2}} когда параметр d отрицательна (или равна нулю в частном случае, когда лемниската превращается в пару касательных снаружи окружностей). Для положительных значений d вместо этого получается овал будки.

Лемниската Бернулли

В 1680 г. Кассини изучили семейство кривых, которое теперь называется Кассини овал, определяемый следующим образом: локус всех точек, произведение расстояний которых от двух фиксированных точек, кривые ‘ фокусы, является константой. В очень особых обстоятельствах (когда половинное расстояние между точками равно квадратному корню из константы) это приводит к лемнискате.

В 1694 г. Иоганн Бернулли изучал случай лемнискаты овала Кассини, ныне известного как лемниската Бернулли (показано выше) в связи с проблемой «изохроны «что было поставлено ранее Лейбниц. Как и гиппопед, это алгебраическая кривая, нулевое множество многочлена (Икс2+у2)2−2а2(Икс2−у2){displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} -2a ^ {2} (x ^ {2} -y ^ {2})}. Брат Бернулли Джейкоб Бернулли также изучили ту же кривую в том же году и дали ей название лемниската. Его также можно определить геометрически как геометрическое место точек, произведение расстояний от двух фокусов которых равно квадрату половины межфокального расстояния. Это особый случай гиппопеда (лемнискаты Бута), с d=−c{displaystyle d = -c}, и может быть образован как поперечное сечение тора, внутреннее отверстие и круглые поперечные сечения которого имеют одинаковый диаметр. В лемнискатические эллиптические функции являются аналогами тригонометрических функций лемнискаты Бернулли, а константы лемнискаты возникают при оценке длина дуги этой лемнискаты.

Лемниската Джероно

Лемниската Героно: набор раствора Икс4 − Икс2 + у2 = 0

Еще одна лемниската, лемниската Героно или лемниската Гюйгенса, является нулевым множеством полинома четвертой степени у2−Икс2(а2−Икс2){displaystyle y ^ {2} -x ^ {2} (a ^ {2} -x ^ {2})}.Кривая Вивиани, трехмерная кривая, образованная пересечением сферы с цилиндром, также имеет форму восьмерки и имеет лемнискату Героно в качестве плоской проекции.

Другие

К другим алгебраическим кривым в форме восьмерки относятся:

В Кривая дьявола, кривая, определяемая уравнением четвертой степени у2(у2−а2)=Икс2(Икс2−б2){displaystyle y ^ {2} (y ^ {2} -a ^ {2}) = x ^ {2} (x ^ {2} -b ^ {2})} в котором один связанный компонент имеет форму восьмерки,
Кривая Ватта, кривая в форме восьмерки, образованная механической связью. Кривая Ватта — это нулевой набор полиномиального уравнения шестой степени (Икс2+у2)(Икс2+у2−d2)2+4а2у2(Икс2+у2−б2)={displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) (x ^ {2} + y ^ {2} -d ^ {2}) ^ {2} + 4a ^ {2} y ^ {2} ( x ^ {2} + y ^ {2} -b ^ {2}) = 0} и имеет лемнискату Бернулли как частный случай.

Примеры предложений

Лемниската – это геометрическая фигура, которая представляет собой пересечение двух окружностей. Слово «лемниската» происходит от греческого «lemniskos», что означает «ленточка». Эта фигура имеет множество математических свойств и применяется в различных областях науки и техники. Например, в оптике лемниската используется для описания кривых распределения света в лазерных резонаторах. В механике лемниската служит для описания движения тела в пространстве. Вот несколько примеров предложений со словом «лемниската»:

Лемниската Жерара – это кривая, которую получают при пересечении двух поверхностей вращения.
В математике лемниската играет важную роль при решении уравнений с переменными коэффициентами.
Лемниската Бернулли – это кривая, которая описывает движение точки на плоскости при постоянной сумме расстояний до двух заданных точек.
Лемниската – это одна из самоподобных фрактальных кривых, которые могут быть использованы для моделирования сложных систем.
В астрономии лемниската используется для описания орбиты движения планеты вокруг Солнца.